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    已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，精英家教网线段MN运动的时间为t秒．
    （1）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形并求出该矩形的面积；
    （2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t，求四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
    分析：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；
    （2）根据①当0＜t＜1时；②当1≤t≤2时；③当2＜t＜3时，分别求出四边形MNQP的面积，即四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式．
    解答：精英家教网解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD=2，
    当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
    即当AM=
    3
    2
    时，四边形MNQP是矩形，
    ∴t=
    3
    2
    秒时，四边形MNQP是矩形，
    ∵PM=AMtan60°=
    3
    2
    		3
    ，
    PQ=MN=AB-2AM=4-3=1，
    ∴S四边形MNQP=PM•PQ=
    3
    2
    		3
    ；

    （2）①当0＜t≤1时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
    在Rt△AMP中，
    ∵∠A=60°，AM=t，tan∠A=
    PM
    AM
    ，
    ∴PM=tan60°×AM=
    		3
    AM=
    		3
    t，
    在Rt△ANQ中，
    而AN=AM+MN=t+1，
    ∴QN=
    		3
    AN=
    		3
    （t+1），
    ∴S四边形MNQP=
    1
    2
    （PM+QN）MN=
    1
    2
    [
    		3
    t+
    		3
    （t+1）]=
    		3
    t+
    		3
    2
    ；
    ②当1＜t＜2时，
    点P在AC上，点Q在BC上，
    PM=
    		3
    t，
    BN=AB-AM-MN=4-1-t=3-t，
    在Rt△BNQ中，
    QN=
    		3
    BN=
    		3
    （3-t），
    ∴S四边形MNQP=
    1
    2
    （PM+QN）MN=
    1
    2
    [
    		3
    t+
    		3
    （3-t）]×1=
    3
    2
    		3
    ；
    ③当2≤t＜3时，点P、Q都在BC上，
    BM=4-t，BN=3-t，
    ∴PM=
    		3
    BM=
    		3
    （4-t），QN=
    		3
    BN=
    		3
    （3-t），
    ∴S四边形MNQP=
    1
    2
    （PM+QN）MN=
    1
    2
    [
    		3
    （3-t）+
    		3
    （4-t）]=
    7
    2
    		3
    -
    		3
    t．    
     综上所述：当0＜t≤1时，S四边形MNQP=
    		3
    t+
    		3
    2
    ；当1＜t＜2时，S四边形MNQP=
    3
    2
    		3
    ；
    当2≤t＜3时，S四边形MNQP=
    7
    2
    		3
    -
    		3
    t．  （10分）精英家教网精英家教网精英家教网
    点评：本题涉及到动点问题，比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，由数形结合便可解答，体现了数形结合在解题中的重要作用．
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