Question

如图，PA是⊙O的割线，且经过圆心O，与⊙O交于B、A两点，PD切⊙O于点D，AC是⊙O的一条弦，连结PC，且PC=PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；        
（2）若AC=PD，连结BC．求证：AB=2BC．

Answer 1

分析：（1）如图，连接OC、OD．同全等三角形的判定定理证得SSS推知Rt△OCP≌Rt△ODP，则∠OCP=∠ODP=90°，即OC⊥PC，所以PC是⊙O的切线；        
（2）通过全等三角形（△AOC≌△PBC）的对应边相等知BC=OC，所以易证AB=2BC．

解答：（1）证明：如图，连接OC、OD．
∵PD切⊙O于点D，
∴∠ODP=90°．
∵在△OCP与△ODP中，

OC=OD OP=OP PC=PD

，
∴△OCP≌△ODP，
∴∠OCP=∠ODP=90°，即OC⊥PC，
又OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；   
     
（2）如图，连接BC．
∵PC、PD是⊙O的两条切线，
∴PC=PD．
又∵AC=PD，
∴AC=PC．
∴∠1=∠4．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
又由（1）知，∠OCP=90°，
∴∠2=∠3，
∴在△AOC与△PBC中，

∠1=∠4 AC=PC ∠2=∠3

，
∴△AOC≌△PBC（ASA），
∴BC=OC，
∴OA=OB=BC
∴AB=OA+OB=2BC．

点评：本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．