Question

已知：如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，与BC交于点D，延长CA交⊙O于点F，连接DF，DE⊥CF于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，cosC=，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AB=AC，OB=OD
∴∠B=∠C，∠B=∠ODB，
∴∠1=∠2
∴OD∥AC．
∵DE⊥CF，∴∠CED=90°
∴∠ODE=∠CED=90°
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．
∵cosC=cosB=．
∴cosF=cosB=．
∵AB=10，
∴AC=10，
∴CD=10cosC=8，
∴AD=6，
10DE=AD×CD，
∴DE=，
∵cosF=cosB=，
设EF=4x，DF=5x，
∴（4x）²+EF²=（5x）²，
解得：x=，
∴EF=，
分析：（1）连接CD，由角边之间的关系，证明∠ODE=∠CED=90°，
（2）连接AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，在Rt△DEF中，求得EF．
点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．