Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O外一点，BC交⊙O于点D，∠CAD=∠B．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）BD=8，点O到BC的距离为3，求cos∠C的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠B=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠CAB=90°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴AC是⊙O的切线．

（2）解：如图，过点O作OE⊥BD于E，
则OE=3，
在⊙O中，BD=8，
∴BE=BD=4，
∴在Rt△OEB中，由勾股定理得：OB=5，
∵∠C+∠B=90°，∠EOB+∠B=90°，
∴∠C=∠EOB，
∴cosC=cos∠EOB==．
分析：（1）求出∠ADB=90°，求出∠B+∠DAB=90°，推出∠CAD+∠DAB=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出BE长，根据勾股定理求出OB，求出∠C=∠EOB，在Rt△BOE中，求出∠EOB的余弦值即可．
点评：本题考查了勾股定理、切线的判定、锐角三角函数的定义、三角形的内角和定理等知识点，关键是求出∠CAB=90°和求出∠EOB的余弦值，题目比较好，是一道综合性比较强的题目．