Question

【题目】(2016山东省泰安市第27题)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中点，AD⊥AE．

(1)、求证：AC2=CD·BC；

(2)、过E作EG⊥AB，并延长EG至点K，使EK=EB．

①若点H是点D关于AC的对称点，点F为AC的中点，求证：FH⊥GH；

②若∠B=30°，求证：四边形AKEC是菱形．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析.

【解析】

试题分析：(1)、欲证明AC2=CDBC，只需推知△ACD∽△BCA即可；(2)、①连接AH．构建直角△AHC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰对等角以及等量代换得到：∠FHG=∠CAB=90°，即FH⊥GH；

②利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．

试题解析：(1)、∵AC平分∠BCD，∴∠DCA=∠ACB．又∵AC⊥AB，AD⊥AE，

∴∠DAC+∠CAE=90°，∠CAE+∠EAB=90°， ∴∠DAC=∠EAB． 又∵E是BC的中点， ∴AE=BE，

∴∠EAB=∠ABC，∴∠DAC=∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴， ∴=CD·BC；

(1)、①证明：连接AH．∵∠ADC=∠BAC=90°，点H、D关于AC对称，∴AH⊥BC． ∵EG⊥AB，AE=BE，

∴点G是AB的中点，∴HG=AG，∴∠GAH=∠GHA．∵点F为AC的中点，∴AF=FH，∴∠HAF=∠FHA，

∴∠FHG=∠AHF+∠AHG=∠FAH+∠HAG=∠CAB=90°，∴FH⊥GH；

②∵EK⊥AB，AC⊥AB， ∴EK∥AC， 又∵∠B=30°，∴AC=BC=EB=EC． 又EK=EB，∴EK=AC，

即AK=KE=EC=CA，∴四边形AKEC是菱形．