Question

（本题满分12分）

如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．

（1）设MN=，用表示PN的长度；

（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？

Answer 1

（1）；（2）MN=4，24；（3）4．

【解析】

试题分析：（1）由PNMQ为矩形，得到PN∥BC，从而△APN∽△ABC，所以，即可得出结论；

（2）由=，配方即可得到结论；

（3）由，，又，得到，解出，由此得到结论．

试题解析：（1）∵PNMQ为矩形，∴PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即；

（2）=，∴当时，矩形PNMQ的面积最大，最大为24；

（3）∵，，又，所以，解之得：，∴当MN长度为4时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质．