Question

已知△ABC，CF是AB边的中线，DF⊥AB与∠ACB的邻补角的角平分线交于点D
（1）如图（1），当∠ACB=60°时，求证：AC+CD=BC；
（2）如图（2），当∠ACB=90°时，写出线段CD、AC和BC的数量关系

AC+

2

CD=BC

，并证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）如图（1）过D作DM垂直于AE，DN垂直于CB，连接AD，BD，由CD为角平分线，利用角平分线定理得到DM=DN，再由CD为公共边，利用HL得到直角三角形CDM与直角三角形CDN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CM=CN，由F为AB的中点，DF垂直于AB，得到DF为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到AD=BD，由DM=DN，AD=BD，利用HL得到直角三角形ADM与直角三角形BDN全等，根据全等三角形的对应边相等得到AM=BN，由∠ACB为60°，得到∠DCN=∠DCM=60°，在直角三角形CND中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出CD=2CN，同理CD=2CM，由BC=BN+CN，等量代换可得证；
（2）AC+

2

CD=BC，理由为：如图（2）过D作DM垂直于AE，DN垂直于CB，连接AD，BD，由CD为角平分线，利用角平分线定理得到DM=DN，再由CD为公共边，利用HL得到直角三角形CDM与直角三角形CDN全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CM=CN，由F为AB的中点，DF垂直于AB，得到DF为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到AD=BD，由DM=DN，AD=BD，利用HL得到直角三角形ADM与直角三角形BDN全等，根据全等三角形的对应边相等得到AM=BN，由∠ACB为90°，得到∠DCN=∠DCM=45°，在直角三角形CND中，锐角三角函数定义可得出CD=

2

CN，同理CD=

2

CM，由BC=BN+CN，等量代换可得证．

解答：（1）证明：如图（1）过D作DM⊥AE于点M，DN⊥CB于点N，连接AD，BD，

∵CD为∠ECB的平分线，DM⊥AE，DN⊥CB，
∴DM=DN，又CD=CD，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CM=CN，
又∵F为AB中点，DF⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AMD和Rt△BND中，
∵

MD=ND AD=BD

，
∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），
∴AM=BN，
∵∠ACB=60°，CD为∠ECB平分线，
∴∠MCD=∠NCD=60°，
在Rt△CND中，∠CDN=30°，
可得CD=2CN，
同理CD=2CM，
∴CD=2CM=CM+CN，
∴BC=BN+CN=AC+CM+CN=AC+CD；

（2）AC+

2

CD=BC，理由为：
证明：如图（1）过D作DM⊥AE于点M，DN⊥CB于点N，连接AD，BD，
∵CD为∠ECB的平分线，DM⊥AE，DN⊥CB，
∴DM=DN，又CD=CD，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CM=CN，
又∵F为AB中点，DF⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AMD和Rt△BND中，
∵

MD=ND AD=BD

，
∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），
∴AM=BN，
∵∠ACB=90°，CD为∠ECB平分线，
∴∠MCD=∠NCD=45°，
在Rt△CND中，可得CD=

2

CN，
同理CD=

2

CM，
∴CD=

2

2

（CM+CN），即CM+CN=

2

CD，
∴BC=BN+CN=AC+CM+CN=AC+

2

CD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定理，线段垂直平分线的判定与性质，利用了转化及等量代换的数学思想，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．