Question

12．如图，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，且点E是OD的中点，⊙O的切线BM与AO的延长线相交于点M，连接AC，CM．
（1）若AB=4$\sqrt{3}$，求$\widehat{AB}$的长；（结果保留π）
（2）求证：四边形ABMC是菱形．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由E为OD中点，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，进而求出∠AOE与∠AOB的度数，设OA=x，利用勾股定理求出x的值，确定出圆的半径，利用弧长公式即可求出$\widehat{AB}$的长；
（2）由第一问得到∠BAM=∠BMA，利用等角对等边得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM与三角形OBM全等，利用全等三角形对应边相等得到CM=BM，等量代换得到CM=AB，再利用全等三角形对应角相等及等量代换得到一对内错角相等，进而确定出CM与AB平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABMC为平行四边形，最后由邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．

解答 （1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，
∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，
∵OE⊥AB，E为OD中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$OA，
∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，
设OA=x，则OE=$\frac{1}{2}$x，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴AB=2AE=$\sqrt{3}$x=4$\sqrt{3}$，
解得：x=4，
则$\widehat{AB}$的长l=$\frac{120π×4}{180}$=$\frac{8π}{3}$；

（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，
∴∠BAM=∠BMA=30°，
∴AB=BM，
∵BM为圆O的切线，
∴OB⊥BM，
在△COM和△BOM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=BO}\\{∠COM=∠BOM}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△COM≌△BOM（SAS），
∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，
∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，
∴CM∥AB，
∴四边形ABMC为菱形．

点评 此题考查了切线的性质，菱形的判断，全等三角形的判定与性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．