Question

【题目】如图，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B与点C关于原点对称，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点B，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．

（1）求二次函数的表达式；

（2）动点P从点A到点D，同时动点Q从点C到点A都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒．

①当t为何值时，有PQ丄AC？

②当t为何值时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣3；（2）①当t＝秒时，PQ⊥AC，②当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为

【解析】

（1）先利用一次函数的解析式确定A点和C点坐标，再利用点B与点C关于原点对称得到点B点坐标和BC的长，接着利用平行四边形的性质求出D点坐标，然后把点B和点D的坐标代入二次函数y＝x2+bx+c得关于b、c的方程组，再解方程组求出b、c即可得到二次函数表达式；

（2）①先利用勾股定理计算出AC＝5，再利用t表示出AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，当PQ⊥AC时可证明△APQ∽△CAO，则利用相似比得到，解得t＝，然后解方程求出t即可；

②作QH⊥AD于H，如图，先证明△AQH∽△CAO，利用相似比可表示出QH＝（5﹣t），再根据三角形面积公式，利用S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP得到四边形PDCQ的面积＝t2﹣t+12，然后根据二次函数的性质求解．

解：（1）当x＝0，y＝﹣x+3＝3，则点A（0，3），

当y＝0，﹣x+3＝0，解得x＝4，则点C（4，0），

∵点B与点C关于原点对称，

∴点B（﹣4，0），BC＝8，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥x轴，AD＝BC＝8，

∴D（8，3），

将点B（﹣4，0），点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c得，解得，

∴二次函数表达式y＝x2﹣x﹣3；

（2）①∵A（0，3），C（4，0），

∴AC＝＝5，

，当点P运动了t秒时，则AP＝t，CQ

②作QH⊥AD于H，如图，

∵∠HAQ＝∠OCA，

∴△AQH∽△CAO，

∴，即，解得QH＝（5﹣t），

∴S四边形PDCQ＝S△ACD﹣S△AQP

＝38﹣t（5﹣t）

＝t2﹣t+12

＝（t﹣）2+，

∴当t＝时，四边形PDCQ的面积最小，最小面积为．