Question

如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABD交AD于点E，DF平分∠BDC交BC于点F．
（1）求证：BE=DF．
（2）若AB=BD，试判断四边形EBFD的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD∥BA，
∴∠BDA=∠CDB（两直线平行，内错角相等）．
又∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴∠DBE=∠BDA，∠FDB=∠CDB，
∴∠DBE=∠FDB（等量代换），
∴DF∥EB（内错角相等，两直线平行），
∴四边形EBFD是平行四边形（有两组对边互相平行的四边形是平行四边形），
∴BE=DF（平行四边形的对边相等）；

（2）解：四边形EBFD是矩形；理由如下：
由（1）知，四边形EBFD是平行四边形．
∵AB=BD，BE是∠ABD的平分线，
∴BE⊥AD，
∴∠DEB=90°，
∴?EBFD是矩形（有一内角为直角的平行四边形是矩形）．
分析：（1）由“有两组对边互相平行的四边形是平行四边形”证得四边形EBFD为平行四边形，然后根据“平行四边形的对边相等”的性质证得结论；
（2）根据等腰三角形的“三合一”的性质推知BE⊥AD，然后由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得四边形EBFD是矩形．
点评：本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．