Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是BC边上一点．
（1）如图1，若M是BC中点，N为AB上任意一点，求MN+CN的最小值；
（2）如图2，BD平分∠ABC，点M、N分别是BC、BD上任意一点，求MC+CN的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）根据平面内线段最短，构建直角三角形，解直角三角形即可．
（2）根据已知条件结合图形构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．

解答：解：（1）如图1，过点作CO⊥AB于O，延长BO到B'，使OC'=OC，连接MC'，交AB于N，
此时MC'=MN+NC'=MN+CN的值最小，
连接BC'，
∵CO⊥AB，AC=BC，∠ABC=90°，
∴∠BCO=

1

2

×90°=45°，
∵CO=OC'，CO⊥AB，
∴BC'=CB=2，
∴∠OC'B=∠OCB=45°，
∴∠C'BC=90°，
∴C'B⊥BC，
∴MC′=

BC′2+BM2

=

22+12

=

5

，
∴MB'的长度就是BN+MN的最小值为

5

．

（2）如图2，在BA上截取BM=BM′，连接CM′．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=

AC2+BC2

=2

2

，
∵BD平分∠ABC，
∴∠NBM=∠NBM′，
在△BMN与△BM′N中，

BM=BM′ ∠NBM=∠NBM′ BN=BN

，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N．
∴MN+CN=CN+M′N≥CM′．
∵CN+MN有最小值．
当CM′是点C到直线AB的距离时，CM′为最小值，
所以CN+MN的最小值是

1

2

AB=

1

2

×2

2

=

2

．
故CN+MN的最小值是

2

．

点评：此题考查了线路最短的问题，确定动点N为何位置时，使MN+CN的值最小是关键．