Question

8．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，P（n，2）是图象上的一点，且AP⊥BP，则a=（　　）

• A． -2
• B． -3
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 首先设ax²+bx+c=0的两根分别为x₁与x₂，根据一元二次方程根与系数的关系，即可得x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，由AP⊥BP，根据勾股定理可得（x₁-n）²+4+（x₂-n）²+4=（x₁-x₂）²，则可得an²+bn+c=-4a，又由P（n，2）是图象上的一点，可得an²+bn+c=2，继而可求得a的值．

解答 解：设ax²+bx+c=0的两根分别为x₁与x₂．
∴x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∵AP⊥BP，
∴AP²+BP²=AB²．
∴（x₁-n）²+4+（x₂-n）²+4=（x₁-x₂）²，
化简得：n²-n（x₁+x₂）+4+x₁x₂=0．
∴n²+$\frac{b}{a}$n+4+$\frac{c}{a}$=0，
∴an²+bn+c=-4a．
∵（n，2）是图象上的一点，
∴an²+bn+c=2，
∴-4a=2，
∴a=-$\frac{1}{2}$．
故选C．

点评 此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识．此题综合较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．