Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC=4

5

，AE=1，求cos∠AEO的值．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD、AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性质得到BD=CD，则可判断OD为三角形ABC的中位线，得到OD∥AC，于是可证明OD⊥DE，然后根据切线的判断定理得到结论；
（2）等腰三角形的性质得∠BAD=∠DAE，则可证明Rt△ABD∽Rt△ADE，利用相似比得AD²=AB•AE=AB，在Rt△ABD中，利用勾股定理得到（2

5

）²+AB=AB²，解得AB=5，则可计算出AD=

5

，接着可计算出DE=2，OE=

41

2

，然后利用余弦的定义得到cos∠DOE=

OD

OE

=

5 41

41

，再利用∠AEO=∠DOE求解．

解答：（1）证明：连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴OD∥AC，
而DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（2）解：连结OE，如图，
∵AD垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，BD=CD=

1

2

BC=

1

2

×4

5

=2

5

，
∴∠BAD=∠DAE，
∴Rt△ABD∽Rt△ADE，
∴

AB

AD

=

AD

AE

，
∴AD²=AB•AE=AB，
在Rt△ABD中，∵BD²+AD²=AB²，
∴（2

5

）²+AB=AB²，
整理得AB²-AB-20=0，解得AB=5或AB=-4（舍去），
∴AD²=5，解得AD=

5

，
在Rt△ADE中，DE=

AD2-AE2

=2，
在Rt△ODE中，∵OD=

5

2

，DE=2，
∴OE=

OD2+DE2

=

41

2

，
∴cos∠DOE=

OD

OE

=

5 2

41 2

=

5 41

41

，
∵OD∥AC，
∴∠AEO=∠DOE，
∴cos∠AEO=

5 41

41

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．