Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+3经过点N（2，-5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x，y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得，MN平行x轴，MN=6，点N坐标为（2，-5），
故可得点M坐标为（-4，-5），
∵y=ax²+bx+3过点M（-4，-5）、N（2，-5），
∴可得，
解得：，
故此抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．

（2）设抛物线的对称轴x=-1交MN于点G，
若△DMN为直角三角形，则，
可得D₁（-1，-2），D₂（-1，-8），
从而可求得直线MD₁解析式为；y=x-1，直线MD₂解析式为：y=-x-9，
将P（x，-x²-2x+3）分别代入直线MD₁，MD₂的解析式，
得-x²-2x+3=x-1①，-x²-2x+3=-x-9②、
解①得 x₁=1，x₂=-4（舍），
即P₁（1，0）；
解②得 x₃=3，x₄=-4（舍），
即P₂（3，-12）；
故当△DMN为直角三角形时，点P的坐标为（1，0）或（3，-12）．
（3）设存在点Q（x，-x²-2x+3），使得∠QMN=∠CNM，
①若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，交MN于点H，
则QH=-x²-2x+3+5，MH=（x+4）、
故，即-x²-2x+3+5=4（x+4）、
解得x₁=-2，x₂=-4（舍），
故可得点Q₁（-2，3）；
②若点Q在MN下方，
同理可得Q₂（6，-45）．
综上可得存在点Q，使∠QMN=∠CNM，点Q的坐标为（-2，3）或（6，-45）．
分析：（1）根据MN平行x轴，MN=6，点N坐标为（2，-5），可得出点M的坐标，然后利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）设抛物线的对称轴x=-1交MN于点G，此时抛物线的对称轴是MN的中垂线，根据△DMN为直角三角形，可得出D₁及D₂的坐标，分别求出MD1及MD2的函数解析式，结合抛物线可得出点P的坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①点Q在MN上方，②点Q在MN下方，然后根据两角相等，利用三角函数建立方程，解出x的值后检验即可得出答案．
点评：此题属于二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的求解及三角函数的知识，难点在第二问和第三问，注意要分类讨论，不要漏解，要求我们能将所学的知识融会贯通．