Question

18．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点F是AD的中点，过点D作DE∥AC，交CF的延长线于点E，连接BE，AE．
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）首先证明△AFC≌△DFE，根据全等三角形对应边相等可得AC=DE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）首先证明四边形ADBE为平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得AD⊥CB，进而可得四边形ADBE为矩形．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，
∴∠CAF=∠EDF，
∵点F是AD的中点，
∴FA=DF，
在△AFC和△DFE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠DFE}\\{FA=FD}\\{∠CAF=∠EDF}\end{array}\right.$
∴△AFC≌△DFE（ASA），
∴AC=DE，
∴四边形ACDE是平行四边形；

（2）解：四边形ADBE为矩形，理由如下：
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD且AE∥CB，
∵点D是BC的中点，
∴CD=DB，
∴AE=BD且AE∥DB，
∴四边形ADBE为平行四边形，
又∵AB=AC，
∴AD⊥CB，
∴∠ADB=90°，
∴四边形ADBE为矩形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定和性质，以及矩形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．