Question

8．已知二次函数y=3ax²+2bx+c．
（1）若a=b=1，c=1，求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若a=$\frac{1}{3}$，c=2+b，且该二次函数在-2≤x≤2范围内的最小值是-3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值是1？若有，请指出有几个这样的实数x；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接将a=b=1，c=1代入求出即可；
（2）利用当x=-b＜-2时，即b＞2，此时-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2；当x=-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，此时-3=2²+2×2b+b+2；当-2≤-b≤2时，即-2≤b≤2，则有抛物线在x=-b时，取最小值为-3，分别求出符合题意的答案即可；
（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，则△=4b²-12a（c-1），求出△的符号得出答案即可．

解答 解：（1）当a=b=1，c=-1时，抛物线为：y=3x²+2x+1，
∵方程3x²+2x+1=0的两个根为：x₁=-1，x₂=-$\frac{1}{3}$．
∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（-1，0）和（-$\frac{1}{3}$，0）；

（2）a=$\frac{1}{3}$，c-b=2，则抛物线可化为：y=x²+2bx+b+2，
其对称轴为：x=-b，
当x=-b＜-2时，即b＞2，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，
此时-3=（-2）²+2×（-2）b+b+2，
解得：b=3，符合题意，
当x=-b＞2时，即b＜-2，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，此时-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-$\frac{9}{5}$，不合题意，舍去．
当-2≤-b≤2时，即-2≤b≤2，则有抛物线在x=-b时，取最小值为-3，
此时-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化简得：b²-b-5=0，
解得：b₁=（不合题意，舍去），b₂=$\frac{1-\sqrt{21}}{2}$．
综上：b=3或b=$\frac{1+\sqrt{21}}{2}$．

（3）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²-12a（c-1），
=4b²-12a（-a-b），
=4b²+12ab+12a²，
=4（b²+3ab+3a²），
=4[（b+$\frac{3}{2}$a）²+$\frac{3}{4}$a²]，
∵a≠0，△＞0，
所以方程3ax²+2bx+c=1有两个不相等实数根，
即存在两个不同实数x₀，使得相应y=1．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一元二次方程的解法等知识，利用分类讨论得出是解题关键．