Question

如图，在平面直角坐标系中，?ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），将?ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到?A′B′CD′，A′D′与BC相交于点E．
（1）求经过点D、A、A′的抛物线的函数关系式；
（2）求?ABCD与?A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）点P是抛物线上点A、A′之间的一动点，是否存在点P使得△APA′的面积最大？若存在，求出△APA′的最大面积，及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据平行四边形的性质和旋转的性质易求点D的坐标和A′坐标，再把D（-1，1）、A（0，4）、A′（3，1）代入求出a、b、
c的值即可；
（2）根据旋转：∠CED’=90°，所以可证明△CED′∽△CAB，利用相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方即可求出?ABCD与?A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）易得：y_AA'=-x+4，设P（t，-t²+2t+4），则Q（t，-t+4），所以PQ=（-t²+2t+4）-（-t+4）=-t²+3t，利用三角形的面积公式即可得到s和t的二次函数关系式利用函数的性质即可求出△APA′的最大面积，进而可求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，将?ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°，得到?A′B′CD′，
顶点A、B、C的坐标分别为A（0，4）、B（1，4）、C（0，1），
∴D（-1，1）、A′（3，1），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
将D（-1，1）、A（0，4）、A′（3，1）代入得：

a-b+c=1 c=4 9a+3b+c=1

，
解得：

a=-1 b=2 c=4

，
∴y=-x²+2x+4或：y=-（x-1）²+5；
（2）根据旋转：∠CED’=90°，
∴△CED′∽△CAB，
∴

S△CED′

S△CAB

=(

CD′

CB

)2，
即

S△CED′

3 2

=(

1

10

)2，
∴S△CED′=

3

20

；
或易得：y_BC=3x+1与yA′D′=-

1

3

x+2，
由

y=3x+1 y=- 1 3 +2

得：E（

3

10

，

19

10

），
∴S△CED′=

1× 3 10

2

=

3

20

；
（3）易得：y_AA'=-x+4
设P（t，-t²+2t+4），则Q（t，-t+4），
∴PQ=（-t²+2t+4）-（-t+4）=-t²+3t，
∴S△APA′=

(-t2+3t)•3

2

=-

3

2

(t-

3

2

)2+

27

8

，
∴△APA’的最大面积为

27

8

，
此时，P（

3

2

，

19

4

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、函数图象的交点等知识点，综合性强，同时也考查了数形结合的数学思想方法．