如图.直线y=2x+2与x轴交于点A.与y轴交于点B.把△AOB沿y轴翻折.点A落到点C.过点B的抛物线y=-x2+bx+c与直线BC交于点D．(1)求直线BD和抛物线的解析式,(2)在第一象限内的抛物线上.是否存在一点M.作MN垂直于x轴.垂足为点N.使得以M.O.N为顶点的三角形与△BOC相似?若存在.求出点M的坐标,若不存在.请说明理由,(3)在直线BD上方的抛物线上有一动点P.过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=-x²+bx+c与直线BC交于点D（3，-4）．
（1）求直线BD和抛物线的解析式；
（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．

考点：二次函数综合题,一次函数的应用,平行四边形的性质,相似三角形的性质

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）由直线y=2x+2可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
（2）如图1，2，由（1）的解析式设M（a，-a²+a+2），当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
（3）设P（b，-b²+b+2），H（b，-2b+2）．由平行四边形的性质建立方程求出b的值就可以求出结论．

解答：解：（1）∵y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，
∴B（0，2）．
当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0）．
∵抛物线y=-x²+bx+c过点B（0，2），D（3，-4），
∴

2=c

-4=-9+3b+c

解得：

b=1

c=2

，
∴y=-x²+x+2；
设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得

b=2

-4=3k+b

，
解得：

k=-2

b=2

，
∴直线BD的解析式为：y=-2x+2；

（2）存在．

如图1，设M（a，-a²+a+2）．
∵MN垂直于x轴，
∴MN=-a²+a+2，ON=a．
∵y=-2x+2，
∴y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1．
∵B（0，2），
∴OB=2．
当△BOC∽△MNO时，
∴

，

∴

-a2+a+2

，
解得：a₁=1，a₂=-2（舍去）
∴M（1，2）；
如图2，当△BOC∽△ONM时，

，
∴

-a2+a+2

，
∴a=

或

（舍去），
∴M（

，

）．
∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（

，

）；

（3）设P（b，-b²+b+2），H（b，-2b+2）．

如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，
∴BO=PH=2．
∵PH=-b²+b+2+2b-2=-b²+3b．
∴2=-b²+3b
∴b₁=1，b₂=2．
当b=1时，P（1，2），
当b=2时，P（2，0）
∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

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（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长？
（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

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（1）求经过点D、A、A′的抛物线的函数关系式；
（2）求?ABCD与?A′B′CD′的重叠部分（即△CED’）的面积；
（3）点P是抛物线上点A、A′之间的一动点，是否存在点P使得△APA′的面积最大？若存在，求出△APA′的最大面积，及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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