Question

3．已知点D与点A（10，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 ①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=10-a，得出D（（10-a，6+a），由勾股定理得：CD²=（10-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-16a+100=8（a-1）²+128，求出即可．

解答 解：有两种情况：
①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD=$\sqrt{1{0}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
②CD是平行四边形的一条对角线，
过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，
则∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BND=∠AMC}\\{∠DBN=∠CAM}\\{BD=AC}\end{array}\right.$
∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=10-a，
D（（10-a，6+a），
由勾股定理得：CD²=（10-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-16a+136=8（a-1）²+128，
当a=1时，CD有最小值，是$\sqrt{128}$=8$\sqrt{2}$，
∵8$\sqrt{2}$＜2$\sqrt{34}$，
∴CD的最小值是8$\sqrt{2}$．
故答案为：8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的应用，关键是能得出关于a的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．