Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交于D．
（1）请写出四个不同类型的正确结论；
①______；②______；③______；④______．
（2）若BC=8，ED=2，求AC；
（3）在（2）的条件下，连接BD、CD，求四边形ABDC的面积．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∵OD⊥BC于E，交于D，
∴CE=BE，=，
∵AC⊥BC，OD⊥BC，
∴OE∥AC．
故答案为：AC⊥BC；CE=BE；=；OE∥AC；

（2）如图1，连接OC，设OC=r，则OE=r-ED=r-2，
∵OD⊥BC，BC=8，
∴CE=BC=×8=4，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，即r²=（r-2）²+4²，解得r=5，
∴OE=5-2=3，
∵由（1）知，OE∥AC，点O是线段AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE=2×3=6；

（3）如图2，∵AC=6，BC=8，ED=2，
∴S_{四边形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD=AC•BC+BC•ED=×6×8+×8×2=32．
分析：（1）根据AB是⊙O的直径可知∠ACB=90°，再由OD⊥BC于E，交于D可知CE=BE，=，因为∠ACB=90°，OD⊥BC可知OE∥AC；
（2）连接OC，设OC=r，则OE=r-ED=r-2，再根据垂径定理求出CE的长，在Rt△OCE中利用勾股定理求出r的值，进而可得出OE的长，由（1）可知，OE∥AC，因为点O是线段AB的中点，所以OE是△ABC的中位线，故AC=2OE，由此即可得出结论．
（3）直接根据S_{四边形ABDC}=S_△ABC+S_△BCD解答即可．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，三角形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．