Question

已知：如图（1）菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，如图（2），将菱形沿着AC剪开，如图（3），将△ABC经过旋转后与△ACD叠放在一起，得到四边形AA′CD，AC与A′D相交于点E，连接AA′．
（1）填空：在图（1）中，AC=

4

3

．BD=

4

．在图（3）中，四边形AA′CD是

等腰

梯形；
（2）请写出图（3）中三对相似三角形（不含全等三角形），并选择其中的一对加以证明；
（3）求AD：DE的值．

Answer 1

分析：（1）连接BD，交AC于点F，根据菱形的性质求出∠DAC的度数，利用锐角三角函数的定义可求出AF的长，故可得出AC的长，同理可求出BD的长，由图形旋转的性质可判断出四边形AA′CD的形状；
（2）根据相似三角形的判定定理可得出相似的三角形；
（3）先判断出△ADE的形状，再根据锐角三角函数的定义即可求出AD：DE的值．

解答：解：（1）连接BD，交AC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC=2AF，BD=2DF，
∵AD=4，∠ADC=120°，
∴∠DAB=180°-∠ADC=180°-120°=60°，
∴∠DAC=

1

2

∠DAB=

1

2

×60°=30°，
在Rt△ADF中，AF=AD•cos30°=4×

3

2

=2

3

，DF=AD•sin30°=4×

1

2

=2，
∴AC=2AF=4

3

，BD=2DF=2×2=4，
∵AC=A′D，CD∥AA′，∠ADC=120°，
∴四边形AA′CD是等腰梯形；
故答案为：4

3

，4，等腰；

（2）△CDE∽△AA′E；△ADE∽△ACA′；△A′CE∽△ADA′．
下面证明△CDE∽△AA′E：
∵梯形ABCD是等腰梯形，AD=A′C，
∴CD∥AA′，
∴△CDE∽△AA′E；

（3）∵∠ADC=120°，∠CDE=30°，
∴∠ADE=90°，
∵∠DAE=30°，
∴

AD

DE

=cot30°=

3

．

点评：本题考查的是相似形综合题，此题涉及到相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义，等腰梯形的判定与性质等相关知识，难度适中．