Question

（1997•陕西）已知关于x的方程（m-1）x²+2mx-1=0有正实数根，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：讨论：当m-1=0，即m=1时，可解得x=

1

2

；当m-1≠0，即m≠1，设方程的两实数根为x₁，x₂，根据根的判别式得到△=4m²-4（m-1）×（-1）≥0，可解得x≤

-1- 5

2

或x≥

-1+ 5

2

；
根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-

2m

m-1

＞0，x₁•x₂=-

1

m-1

＞0，由于m-1＜0，则2m＞0，于是0＜m＜1，然后纵综合两种情况即可得到m的范围．

解答：解：当m-1=0，即m=1时，方程变形为2x-1=0，解得x=

1

2

；
当m-1≠0，即m≠1，
设方程的两实数根为x₁，x₂，
根据题意得△=4m²-4（m-1）×（-1）≥0，即m²+m-1≥0，解得x≤

-1- 5

2

或x≥

-1+ 5

2

；
x₁+x₂=-

2m

m-1

＞0，x₁•x₂=-

1

m-1

＞0，
∴m-1＜0，
∴2m＞0，
∴0＜m＜1，
∴当

-1+ 5

2

≤x＜1时，方程有两个正实数根，
综上述，m的范围为

-1+ 5

2

≤x≤1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．