Question

等边△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，且CD=BE，以AD为边作等边△ADF，如图．求证：四边形CDFE是平行四边形．

Answer 1

分析：连接BF，根据等边三角形性质推出△FAB≌△DAC，推出等边三角形BFE，推出EF=BE=CD，证△ACD≌△CBE，推出AD=CE=DF，根据平行四边形判定推出即可．

解答：证明：连接BF，
∵△ADF和△ABC是等边三角形，
∴AF=AD=DF，AB=AC=BC，∠ABC=∠ACD=∠CAB=∠FAD=60°，
∴∠FAD-∠EAD=∠CAB-∠EAD，
∴∠FAB=∠CAD，
在△FAB和△DAC中

AF=AD ∠FAB=∠CAD AB=AC

，
∴△FAB≌△DAC（SAS），
∴BF=DC，∠ABF=∠ACD=60°，
∵BE=CD，
∴BF=BE，
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE=CD，
在△ACD和△CBE中
∵

CA=BC ∠ACB=∠ABC CD=BE

，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE=DF，
∵EF=CD，
∴四边形CDFE是平行四边形．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定和平行四边形的判定的应用，用了有两组对边分别相等的四边形是平行四边形．