Question

如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上任意一点，点P为线段AE中点，连接BP并延长交边AD于点F，点M为边CD上一点，连接FM，且∠1=∠2．
（1）若AD=2，DE=1，求AP的长；
（2）求证：PB=PF+FM．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°，
∵AD=2，DE=1，
∴AE==，
∵点P为线段AE中点，
∴AP=AE=；

（2）延长BF交CD的延长线于点N，
∵点P为线段AE中点，
∴AP=PE，
∵AB∥CD，
∴∠PEN=∠PAB，∠2=∠N，
∵在△APB和△EPN中，
，
∴△APB≌△EPN（AAS），
∴PB=PN，
∵∠1=∠2，∠2=∠N，
∴∠1=∠N，
∴FN=FM，
∴PB=PN=PF+FN=PF+FM，
∴PB=PF+FM．
分析：（1）由矩形的性质可知△ADE是直角三角形，利用勾股定理即可求出AP的长；
（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到PB=PN，再根据已知条件证明FN=FM即可．
点评：本题考查了矩形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质．