Question

如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．

（1）求图1中∠MON的度数；
（2）图2中∠MON的度数是

 

，图3中∠MON的度数是

 

；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．

Answer 1

分析：（1）先分别连接OB、OC，可求出∠BOM=∠NOC，故∠MON=∠BOC，再由圆周角定理即可求出∠BOC=120°；
（2）同（1）即可解答；
（3）由（1）、（2）找出规律，即可解答．

解答：解：分别连接OB、OC，
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OC=OB，O是外接圆的圆心，
∴CO平分∠ACB
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OBM=∠OCN=30°，
∵BM=CN，OC=OB，
∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM=∠NOC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°；
∴∠MON=∠BOC=120°；

（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；

（3）由（1）可知，∠MON=

360°

3

=120°；在（2）中，∠MON=

360°

4

=90°；在（3）中∠MON=

360°

5

=72°…，
故当n时，∠MON=

360°

n

．

点评：本题考查的是正多边形和圆，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．