Question

3．如图，射线OM上有三点A，B，C，满足OA=20cm，AB=60cm，BC=10cm，动点P从O点出发沿OM方向以每秒1cm的速度匀速运动；动点Q从点C出发，在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时，立即停止运动），点P，Q同时出发．
（1）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；
（2）若点Q运动速度为每秒3cm时，经过多少时间P，Q两点相距70m；
（3）当PA=2PB时，点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，求点Q的速度．

Answer 1

分析 （1）设点Q的运动速度为xcm/s，根据题意列出方程，求出x即可；
（2）原本P、Q之间距离大于70cm，所以要分两种情况，第一相距70cm跟相遇后两者相距70cm，根据路程=速度×时间，即可求得，不过第二次相距70cm时，Q点早已到达O点停止运动；
（3）PA=2PB分两种情况，一种P在线段AB内，一种P在线段AB的延长线上，根据速度=路程÷时间，即可求得点Q的速度．

解答 解：（1）设点Q的运动速度为xcm/s，根据题意，得
$\frac{OA+\frac{1}{2}AB}{1}$=$\frac{BC+\frac{1}{2}AB}{x}$，即50=$\frac{40}{x}$，
解得x=0.8cm/s．
（2）∵OA+AB+BC=90cm＞70cm，
∴分两种情况，
①Q在P的右侧，
经过时间为$\frac{90-70}{1+3}$=5s．
②Q在P的左侧，
∵点Q运动到点O时，立即停止运动，
∴Q运动的时间为$\frac{90}{3}$=30s，
两者相距70cm时运动的时间为$\frac{70}{1}$=70s．
综合①②得知，经过5秒和70秒的P、Q两点相距70m．
（3）PA=2PB，分两种情况，
①当点P在A、B两点之间时，
∵PA=2PB，
∴PA=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
此时运动的时间为$\frac{OA+PA}{1}$=60s，
∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，
∴BQ=$\frac{1}{3}$AB=20cm，或BQ=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
点Q的运动速度为$\frac{BC+BQ}{60}$=0.5cm/s或$\frac{5}{6}$cm/s．
②当点P在线段AB的延长线上时，
∵PA=2PB，
∴PA=2AB=120cm，
此时运动的时间为$\frac{OA+PA}{1}$=140s，
∵点Q运动的位置恰好是线段AB的三等分，
∴BQ=$\frac{1}{3}$AB=20cm，或BQ=$\frac{2}{3}$AB=40cm，
点Q的运动速度为$\frac{BC+BQ}{140}$=$\frac{3}{14}$cm/s或$\frac{5}{14}$cm/s．
综合①②得知，当点P在A、B两点之间时，点Q的运动速度为0.5cm/s或$\frac{5}{6}$cm/s，；当点P在线段AB的延长线上时，点Q的运动速度为$\frac{3}{14}$cm/s或$\frac{5}{14}$cm/s．

点评 本题考查了两点间的距离和解分式方程，解题的关键是（1）熟练运用解分式方程的知识解决问题；（2）PQ相距70cm分两种情况，第一次相距70cm和相遇后再次相距70cm；（3）当PA=2PB时，分两种情况，一种点P在线段AB内，一种点P在线段AB延长线上．