Question

如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DF⊥AC，E是DF的中点，联结AE、BF．求证：（1）DF²=CF•AF； （2）AE⊥BF．

Answer 1

证明：（1）取CF的中点G，连接DG，DA，
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵DF⊥AC，
∴∠DAF=∠FDC，
∴△DAF∽△DFC，
∴AF：DF=DF：CF，
∴DF²=CF•AF；
（2）∵E是DF的中点，G是FC的中点，
∴AF：DF=EF：FG，
∴△AFE∽△DFG，
∴∠FAE=∠FDG，
∵G是FC的中点
∴在△CBF中，DG∥BF，
∴∠GDF=∠BFD，
∴∠FAE=∠BFD，
∵AF⊥DF，
∴∠FAE+∠FEA=90°，
∴∠BFD+∠FEA=90°，
∴AE⊥BF．
分析：（1）取CF的中点G，连接DG，DA，根据等腰三角形的性质和已知条件证明△DAF∽△DFC即可；
（2））因为E是DF的中点，G是FC的中点，所以AF：DF=EF：FG，所以△AFE∽△DFG，进而证明∠FAE=∠FDG，再证明∠BFD+∠FEA=90°，即可得到AE⊥BF．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及平行线的判定和性质，题目的综合性强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．