Question

16．如图，AB为⊙O的直径，弦AD平分∠CAB，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，ED的延长线交AB的延长线于点F．
（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若ED=2，AE=4，求⊙O 的半径及AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE=90°，而D是圆上的一点；故可得直线DE与⊙O相切；
（2）连接BD，根据勾股定理得到AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB=5，根据切线的性质得到OD⊥EF，求得AE∥OD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）直线FE与⊙O相切，DE是切线；
连接OD，
∵∠CAB的平分线是AD，
∴∠CAD=∠DAB．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠EAD=∠ADO，
∴AE∥OD，
∵∠AED=90°，
∴∠ODE=90°．
∴直线DE与⊙O相切；

（2）连接BD，
∵ED=2，AE=4，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠EAD=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{AD}{AB}$，
∴AB=5，
∴⊙O 的半径=$\frac{5}{2}$，
∴OD=AO=OB=$\frac{5}{2}$，
∵直线DE与⊙O相切，
∴OD⊥EF，
∴AE∥OD，
∴△ODF∽△EAF，
∴$\frac{OD}{AE}=\frac{OF}{AF}$，即$\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{AF-\frac{5}{2}}{AF}$，
∴AF=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．