Question

如图，D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求证：△ABD∽△CBE．
（2）求证：△ABC∽△DBE．

Answer 1

分析：（1）观察图形，由已知的∠1=∠2，∠3=∠4，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABD∽△CBE；
（2）根据已知的∠1=∠2，利用等式的性质，在∠1，∠2的两侧都加上∠DBC，即可得到∠ABC=∠DBE，同时再利用第一问已证的△ABD∽△CBE，根据相似三角形的对应边成比例得到：

AB

CB

=

BD

BE

，最后利用两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似，即可证得△ABC∽△DBE．

解答：证明：（1）∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），
∴△ABD∽△CBE（两角对应相等，两三角形相似）；

（2）∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC，
即∠ABC=∠DBE，
由（1）△ABD∽△CBE可得：

AB

CB

=

BD

BE

（相似三角形的对应边成比例），
∴△ABC∽△DBE（两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似）．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，其中判定三角形相似的方法有：①如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．相似三角形的性质主要有：两三角形相似，对应角相等，对应边成比例．解决本题时，一定要善于利用第一问已证的结论，运用已证的结论得到有关的知识为第二问的证明做准备．