Question

如图，△ABC是等边三角形，线段AD为BC边上的中线，动点P在直线AD上运动时以PC为一边且在PC的下方做等边△PCE，连接BE．
（1）求∠CAD的值；
（2）当点P在线段AD上（点P不与点A重合）时，求证：AP=BE；
（3）当点P运动的过程中（点P不与点A重合），若点C关于直线BE的对称点是Q点，求证：CQ=AC．

Answer 1

分析：（1）根据代表性三角形得出AC=AB，根据等腰三角形性质求出即可．
（2）根据等边三角形性质求出AC=BC，CP=CE，∠ACB=∠PCE=60°，求出∠ACP=∠ECB，证出△ACP≌△BCE即可．
（3）连接BQ，根据轴对称求出BC=BQ，根据全等三角形性质和等腰三角形性质求出∠CBQ=60°，得出等边三角形CBQ，推出BC=CQ即可．

解答：（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段AD为BC边上的中线，
∴∠CAD=

1

2

∠CAB=

1

2

×60°=30°．

（2）证明：∵△ABC和△PCE是等边三角形，
∴AC=BC，CP=CE，∠ACB=∠PCE=60°，
∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB，
∴∠ACP=∠ECB，
在△ACP和△BCE中

AC=BC ∠ACP=∠BCE CP=CE

∴△ACP≌△BCE（SAS），
∴AP=BE．

（3）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵△ACP≌△BCE，
∴∠CBE=∠CAD=30°，
连接BQ，延长BE交CQ于M，
∵C、Q关于直线BE对称，
∴BM⊥CQ，CM=QM，
∴BC=BQ，
∴∠CBE=∠QBE=30°，
即∠CBQ=60°，
∵BC=BQ，
∴△CBQ是等边三角形，
∴CQ=BC，
∴CQ=AC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，轴对称，等边三角形性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．