Question

7．如图，在Rt△PAD中，∠PAD=90°，∠APD的角平分线PO交AD于O点，以O为圆心，OA为半径作⊙O，交AD于点B，过D作DE⊥PO交PO的延长线于点E．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若PA=6，tan∠PDA=$\frac{3}{4}$，求半径OA及OE的长．

Answer 1

分析 （1）作OC⊥PD于C，根据角平分线的性质得出OC=OA，即可判定PD是⊙O的切线；
（2）根据已知求得AD，PC，根据勾股定理求得PD，得出CD，设半径为x，则OD=8-x，在RT△ODC中，根据勾股定理得出（8-x）²=x²+4²，解得半径为3，然后根据勾股定理求得OP，进而证得△POA∽△DOE，根据相似三角形的性质即可求得．

解答 （1）证明：作OC⊥PD于C，
∵OP是∠APD的角平分线，OA⊥PA，OC⊥PD，
∴OC=OA，
∴PD是⊙O的切线；
（2）解：∵PA=6，tan∠PDA=$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴AD=8，
∴PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=10，
∵PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线，
∵PD是⊙O的切线，
∴PC=PA=6，
∴CD=PD-PC=4，
设半径为x，则OD=8-x，
在RT△ODC中，OD²=OC²+CD²，
∴（8-x）²=x²+4²，
解得x=3，
∴半径OA=3，
∴OD=8-3=5，
在RT△AOP中，OP=$\sqrt{P{A}^{2}+O{A}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵∠PAO=∠E=90°，∠POA=∠DOE，
∴△POA∽△DOE，
∴$\frac{OE}{OA}$=$\frac{OD}{OP}$，即$\frac{OE}{3}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$，
∴OE=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证明某一线段是圆的切线时，过圆心作直线的垂线，通过证明垂线段的长等于半径判定切线．