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(2002•烟台)如图,过点C的直线l∥x轴,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过A(-1,0),C(0,1)两点,且截直线l所得线段CD=
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点M(m,t)(m<0,t>0)在抛物线上,MN∥x轴,且与该抛物线的另一交点为N,问:是否存在实数t,使得MN=2AO?如果存在,求出t的值;如果不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)可根据A,C,D三点坐标用待定系数法来求出抛物线的解析式.本题中D点的坐标不确定,因此要分两种情况进行求解.
(2)由于抛物线的解析式有两个,因此要分类讨论.求解时,可设出N点的坐标,然后用M,N的横坐标表示出MN的长,根据韦达定理可用t表示出M、N两点横坐标的和与积,由此可用含t的式子表示出OA的长,即可求出t的值.
解答:解:(1)∵l∥x轴,C(0,1),CD=
∴D点坐标为D(-,1)或D(,1),
当抛物线过A(-1,0),C(0,1),D(-,1)时.

解得
当抛物线过A(-1,0),C(0,1),D(,1)时.

解得
故所求的抛物线的解析式为y=-3x2-2x+1或y=-x2+x+1.

(2)若点M(m,t)在抛物线y=-3x2-2x+1上,
因抛物线对称轴在y轴左侧,线段MN在x轴上方,
故MN<2AO.
因此不存在实数t,使得MN=2AO.
若点M(m,t)在抛物线y=-x2+x+1上,
则存在实数t,使得MN=2AO.
设N(n,t),
则有t=-n2+n+1,又t=-m2+m+1.
故m、n是方程-x2+x+1-t=0的两个实数根.
∴m+n=,mn=-(1-t),
∴MN=n-m===2AO=2,
∴t=
点评:数形结合、方程函数的数学思想在数学综合题中充分利用,对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义,力图在代数和几何的结合上找出解题思路.
练习册系列答案
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(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若点(-a,y1),(-2a,y2)在该反比例函数的图象上,试比较y1与y2的大小;
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A.y=x+2
B.y=-2x+2
C.y=x-2
D.y=-x-2

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