Question

3．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=6-2$\sqrt{3}$，点P是BC上一动点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，则线段DE的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 当AP⊥BC时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、D、P、E四点共圆，且直径为AP，得出∠AED=∠B=45°，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得△ADE∽△ACB，则$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{CB}$，设AD=2x，表示出AE和AB的长，求出AE与AB的比，代入比例式中，可求出DE的值．

解答 解：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
如图1，∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴∠ADP=∠AEP=90°，
∴∠ADP+∠AEP=180°，
∴A、D、P、E四点共圆，且直径为AP，
在Rt△PBD中，∠B=45°，
∴△PBD是等腰直角三角形，∠APD=45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠PBD=∠PAD=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠AED=∠B=45°，
∵∠EAD=∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{CB}$，
设AD=2x，则PD=DB=2x，AP=2$\sqrt{2}$x，
如图1，取AP的中点O，连接EO，则AO=OE=OP=$\sqrt{2}$x，
∵∠EAP=∠BAC-∠PAD=60°-45°=15°，
∴∠EOP=2∠EAO=30°，
过E作EM⊥AP于M，则EM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
cos30°=$\frac{OM}{OE}$，
∴OM=$\sqrt{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AM=$\sqrt{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$x=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$x，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{A{M}^{2}+E{M}^{2}}$=（$\sqrt{3}$+1）x，
∴$\frac{（\sqrt{3}+1）x}{4x}$=$\frac{DE}{6-2\sqrt{3}}$，
∴ED=$\sqrt{3}$．
则线段DE的最小值为$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了四点共圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的判断当AP⊥BC时，线段DE的值最小是解题的关键．