Question

6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB=∠B．若AC=10，AB=25，求CD的长．

Answer 1

分析 如图，延长CD交AB于点E，构建全等三角形：△ADE≌△ADC（ASA）．由全等三角形的对应边相等推知AE=AC=10，DE=DC；根据BE=CE，AB=25，得出AB=AE+BE=10+2DC=25，即可求得DC=7.5．

解答 解：如图，延长CD交AB于点E．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵CD⊥AD，
∴∠ADE=∠ADC=90°．
∵在△ADE与△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AD=AD}\\{∠ADE=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△ADC（ASA）．
∴AE=AC=10，DE=DC． 
∵∠DCB=∠B，
∴BE=CE=2DC．
∴AB=AE+BE=10+2DC=25．
∴DC=7.5．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质．注意此题中辅助线的作法．