Question

8．已知在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点，已知两底差是8，两腰和是16，则△EFG的周长是12．

Answer 1

分析 首先根据点E、G分别是BD、DC的中点，可得EG是△BCD的中位线，所以EG=$\frac{1}{2}BC$，同理，可得FG=$\frac{1}{2}AD$，再根据两腰和是16，求出EG、FG的长度和是多少；然后根据三角形的中位线定理，判断出EF=$\frac{1}{2}$（CD-AB），据此求出EF的长度是多少；最后把EG、FG、EF的长度求和，求出△EFG的周长是多少即可．

解答 解：如图，连接BF，并延长与CD相交于点H，，
∵E、G分别是BD、DC的中点，
∴EG是△BCD的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}BC$，
同理，可得FG=$\frac{1}{2}AD$，
∴EG+FG=$\frac{1}{2}（BC+AD）=\frac{1}{2}×16=8$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{AB}{CH}=\frac{BF}{FH}=\frac{AF}{FC}=1$，
∴AB=CH，BF=FH，
∴EF是△BDH的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$（CD-AB）=$\frac{1}{2}×8=4$，
∴△EFG的周长=EG+FG+EF=8+4=12．
故答案为：12．

点评 （1）此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）此题还考查了梯形的性质和应用，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．