Question

如图，AB是⊙O的直径，延长弦BD到点C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，延长ED交AB延长线于点F，求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）
直线DE与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
直线DE是⊙O的切线，
即直线DE与⊙O的位置关系是相切；

（2）解：∵OD∥AC，∠BAC=60°，
∴∠DOB=∠A=60°，
∵DE是⊙O切线，
∴∠ODF=90°，
∴∠F=30°，
∴FO=2OD=12，
由勾股定理得：DF=6，
∴阴影部分的面积S=S_△ODF-S_扇形DOB=×6×6-=18-6π．
分析：（1）连接OD，根据三角形的中位线得出OD∥AC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；
（2）求出∠DOF=60°，∠F=30°，求出DF，根据阴影部分的面积等于三角形ODF的面积减去扇形DOB的面积，分别求出后代入即可．
点评：本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，扇形的面积，三角形的面积，三角形的中位线等知识点的综合应用．