Question

如图1，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC折叠，使点B与点O重合，点C移到点F位置，折痕为DE．
（1）求OD的长；
（2）请判断△OED的形状，并说明理由；
（3）如图2，以O点为坐标原点，OC、OA 所在的直线分别为x轴、y轴，建立直角坐标系，求直线DE的函数表达式，并判断点B关于x轴对称的点B′是否在直线DE上？

Answer 1

解：（1）如图1，由对折可得：OD=DB，
设OD=x，则DB=x，AD=8-x，
在Rt△AOD中，OA=4，
∴OD²=AD²+OA²，即x²=（8-x）²+4²，
解得x=5，
所以OD的长为5．

（2）△OED是等腰三角形．
理由如下：由对折可得：∠2=∠1，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD=OE，
∴△OED是等腰三角形．

（3）由（1）得：AD=8-5=3，
∴D（3，4），
由（2）得：OD=OE=5，
∴E（5，0），
设直线DE的关系式为 y=kx+b，则，
解得：
∴直线DE为y=-2x+10，
点B关于x轴对称的点B′的坐标为（8，-4），
∵把x=8代入y=-2x+10，得：y=-6≠-4，
∴点B′不在直线DE上．
分析：（1）设OD=x，则DB=x，AD=8-x，在RT△AOD中利用勾股定理可得OD²=AD²+OA²，即x²=（8-x）²+4²，解出即可得出答案．
（2）先由折叠的性质得出∠2=∠1，进而判断出四边形OABC是矩形，从而得出∠1=∠3，这样即可判断出答案．
（3）根据题意求出点E坐标，利用待定系数法确定DE的解析式，继而确定B'的坐标，代入解析式可判断出是否在直线DE上．
点评：此题考查了翻折变换的性质、待定系数法求函数解析式、勾股定理及矩形的性质，属于综合型题目，解答本题的关键是所涉及知识点的融会贯通，难度较大．