Question

已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax²+x+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；
（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可将A，B两点的坐标代入函数的解析式中，可求出抛物线的解析式．进而求出对称轴的解析式和定点的坐标；
（2）由于二次函数和等腰梯形都是轴对称图形，可根据抛物线的对称轴和C点的坐标求出D的坐标．然后用待定系数法求出A，D所在直线的解析式．


（3）分五种情况进行讨论：
①如图1，P与M的纵坐标相等，可将M的纵坐标代入抛物线中求出P的坐标，然后可根据M，P的横坐标求出MP的长，即AQ的长，然后根据A的坐标即可求出Q的坐标．
②如图2，方法同①．
③如图3，根据平行四边形的对称性，那么M，P的纵坐标互为相反数，因此可求出P的坐标，可先在三角形AOM中求出AO的长，然后A到抛物线对称轴的长+P的横坐标=Q的横坐标，据此可求出Q点的坐标．
④如图4，可参照③的方法求出P的坐标，然后求出PA的长，即MQ的长，然后可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形求出OQ的长．进而得出Q的坐标．
⑤根据题意画出图形，即可求出答案．

解答：解：（1）根据题意，得

4a-2+c=0 36a+6+c=0

，
解得

a=- 1 4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

4

x2+x+3，
顶点坐标是（2，4）；

（2）D（4，3），
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线经过点A（-2，0）、点D（4，3），
∴

-2k+b=0 4k+b=3

，
∴

k= 1 2 b=1

，
∴y=

1

2

x+1；

（3）存在．
①如图1，P与M的纵坐标相等，可将M的纵坐标代入抛物线中求出P的坐标，然后可根据M，P的横坐标求出MP的长，即AQ的长，然后根据A的坐标即可求出Q的坐标：Q₁（2

2

-2，0）；
②如图2，方法同①，Q₂（-2

2

-2，0）；
③如图3，根据平行四边形的对称性，那么M，P的纵坐标互为相反数，因此可求出P的坐标，可先在三角形AOM中求出AO的长，然后A到抛物线对称轴的长+P的横坐标=Q的横坐标，据此可求出Q点的坐标：Q₃（6-2

6

，0）；
④如图4，可参照③的方法求出P的坐标，然后求出PA的长，即MQ的长，然后可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形求出OQ的长．进而得出Q的坐标：Q₄（6+2

6

，0）．
⑤以AM为对角线时，把x=2代入y=

1

2

x+1得y=2，
即M的坐标是（2，2），
过M作x轴的平行线交抛物线与P₅、P₆，
则这两点的纵坐标是2，
把y=2代入y=-

1

4

x²+x+3得：y=-

1

4

x²+x+3=2，
解得：x=2±2

2

，
即P₅（2-2

2

，2），P₆（2+2

2

，2），
∴Q₅的坐标是（2

2

-2，0），Q₆的坐标是（-2-2

2

，0）．
综上所述：Q₁（2

2

-2，0），Q₂（-2

2

-2，0），Q₃（6-2

6

，0），Q₄（6+2

6

，0）．

点评：本题主要考查了二次函数的相关知识，（1）（2）比较简单，要注意的是（3）中要把所有的情况都考虑到不要漏解．