Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx-4（a≠0）与x轴交于A（4，0），B（-1，0）两点，过点A的直线y=-x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标．

Answer 1

分析 （1）直接把点A（4，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax²+bx-4求出a、b的值，进而可得出抛物线的解析式；
（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于两点A（4，0），B（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-4=0}\\{a-b-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为：y=x²-3x-4；
（2）如图1，作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，
由（1）得，抛物线解析式为y=x²-3x-4，
∴D（0，-4），
∵直线y=-x+4交抛物线于点C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-3x-4}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=6}\end{array}\right.$，
∴C（-2，6），
∵A（4，0），
∵直线AC解析式为y=-x+4，直线BF⊥AC，且B（-1，0），
∴直线BF解析式为y=x+1，
设点F（m，m+1），
∴G（$\frac{m-1}{2}$，$\frac{m+1}{2}$），
∵点G在直线AC上，
∴-$\frac{m-1}{2}$+4=$\frac{m+1}{2}$，
∴m=4，
∴F（4，5），
∵D（0，-4），
∴直线DF解析式为y=$\frac{9}{4}$x-4，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{9}{4}x-4}\\{y=-x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{32}{13}}\\{y=\frac{20}{13}}\end{array}\right.$
∴直线DF和直线AC的交点E（$\frac{32}{13}$，$\frac{20}{13}$）．

点评 此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线和x轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，最短路线问题等，解本题的关键是求函数图象的交点坐标．