Question

9．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向
外作高为AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN，$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中点分别是P，Q．若
MP+NQ=12，AC+BC=15，则AB的长是10.5．

Answer 1

分析 连接OP，OQ，根据$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中点分别是P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{15}{2}$和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．

解答 解：连接OP，OQ，
∵$\widehat{AC}$，$\widehat{BC}$的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，∠CHP=90°，
∵AM=CM，
∴MH⊥AC，
∴∠MHC=90°，
∴M，P，H，O共线，
∴OH+OI=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{15}{2}$，
∵MH+NI=AC+BC=15，MP+NQ=12，
∴PH+QI=15-12=3，
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=$\frac{15}{2}$+3=$\frac{21}{2}$，
故答案为：10.5．

点评 本题考查了圆心角，弧，弦的关系，矩形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，中位线定理，解题的关键是正确作出辅助线．