Question

在直角坐标系xoy中，函数y=4x的图象与反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象有两个公共点A、B（如图），其中点A的纵坐标为4过点A作x轴的垂线，再过点B作y轴的垂线，两垂线相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）根据函数的图象的特点可知点A、点B关于原点对称，先求出点B的坐标为（-1，4）；根据题意可知：点C的横坐标与点A的横坐标相等；点C的纵坐标与点B的纵坐标相等，所以可得点C的坐标为（1，-4）．
（2）根据两点距离公式求出三角形的边长，直接利用直角三角形的面积求法计算即可．

解答：解：（1）因点A的纵坐标为4，故可设点A的坐标为（a，4）．
由点A在函数y=4x的图象上，得4=4a，
解得a=1，
于是得点A的坐标为（1，4）．
依据反比例函数、正比例函数的对称性，知点A、点B关于原点对称，
故可知点B的坐标为（-1，-4），
又BC与x轴平行，AC与y轴平行，且点C在第四象限，
所以点C的横坐标与点A的横坐标相等；
点C的纵坐标与点B的纵坐标相等，得点C的坐标为（1，-4）．

（2）在Rt△ABC中，∠C=90，BC=-|-1-1|=2，AC=|4-（-4）|=8，
所以S_△ABC=

1

2

BC•AC=

1

2

×2×8=8．
答：△ABC的面积为8．

点评：主要考查了反比例函数y=

k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=

1

2

|k|．