Question

18．在△ABC中，M是AB中点，CH⊥AB于H，CT是∠ACB和∠MCH的平分线．求证：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥AC交CM的延长线于点D，证明A，D，B，C四点共圆，进而得到CD为直径，然后反推AB也为直径，所以△ABC是直角三角形．

解答 解：如图，过点A作AD⊥AC交CM的延长线于点D，

则∠ACD+∠ADC=90°，
∵CH⊥AB，
∴∠B+∠BCH=90°，
∵CT平分∠ACB和∠MCH，
∴∠ACT=∠BCT，∠MCT=∠HCT，
∴∠ACD=∠BCH，
∴∠ADC=∠B，
∴A，D，B，C四点共圆，
∵∠CAD为直角，
∴CD为圆的直径，
∵M是AB中点，
∴AM=BM，即直径CD平分弦AB，且CD不垂直于AB，
∴AB也为圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．

点评 本题的关键是根据已知条件得出四点共圆，进而可证明直角三角形．