如图，⊙P与⊙Q外切于点N，经过点N的直线AB交⊙P于A，交⊙Q于B，以经过⊙P的直径AC所在直线为y轴，经过点B的直线为x轴，建立直角坐标系．
（1）求证：OB是⊙Q的切线；
（2）如果OC=CP=PA=2，⊙Q在始终保持与⊙P外切、与x轴相切的情况下运动，设点Q的坐标为（x，y），试求y与x之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，设M是所求函数图象上的任意一点，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，连接PE、PM．问是否存在△PEO与△PMF相似？若存在，求出ME的长；若不存在，请说明理由．

（1）证明：连接PQ、QB，则PQ过点N，
∵PA=PN，QN=QB，
∴∠PAN=∠PNA=∠QNB=∠QBN，
∴QB∥AO．
又A0⊥OB，
∴QB⊥OB．
又QB是半径，
∴OB是⊙Q的切线．

（2）解：作QD⊥y轴，垂足为D．
则PD=|4-y|，QD=|x|，PQ=|2+y|，
在Rt△PDQ中，PD²+DQ²=PQ²，
∴|4-y|²+|x|²=|2+y|²，
∴ $\text{[math]}$ ；

（3）解：设点M的坐标为（a、b），则a≠O，b＞1．
PF=|b-4|，FM=OE=|a|．
∵∠POE=∠PFM=90°，
∴要使△PE0与△PMF相似，只要 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 即可．
由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，
∴|b-4|=4，即b-4=±4，
∴b₁=8，b₂=O（不合题意，舍去），即ME=8．
由 $\text{[math]}$ ，得： $\text{[math]}$ ，
∴a²=4|b-4|，
又b= $\text{[math]}$ ，a²=12b-12，
∴12b-12=4|b-4|．
即3b-3=|b-4|，
∴ $\text{[math]}$ （不合题意，舍去）， $\text{[math]}$ ，
∴ME= $\text{[math]}$ ．
所以，存在△PEO与△PMF相似，这时ME的长为8或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先作辅助线：连接PQ、QB，则PQ过点N，即可得：∠PAN=∠PNA=∠QNB=∠QBN，则可证得：QB∥AO，又由A0⊥OB，证得：QB⊥OB，则问题得证；
（2）作QD⊥y轴，在Rt△PDQ中，利用勾股定理即可求得y与x之间的函数关系式；
（3）由∠POE=∠PFM=90°，可知要使△PE0与△PMF相似，只要 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 即可，分别从这两方面去求解即可求得ME的长．
点评：此题考查了圆的性质，切线的判定以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，图形也很复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的添加方法．

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