Question

如图，在△ABC中，A₁，A₂，A₃是BC边上的四等分点，B₁，B₂是AC边上的三等分点，AA₁与BB₁交于C₁，B₁A₂与BB₂交于C₂，记△AB₁C₁，△B₁B₂C₂，△B₂CA₃的面积为S₁，S₂，S₃，则S₁：S₂：S₃=

6：4：3

．

Answer 1

分析：由在△ABC中，A₁，A₂，A₃是BC边上的四等分点，B₁，B₂是AC边上的三等分点，可得A₃B₂∥A₂B₁∥A₁A，则可得△BA₁C₁∽△BA₂B₁，△BA₂C₂∽△BA₃B₂，然后由相似三角形的对应边成比例，求得BC₁：BB₁=BA₁：BA₂=1：2，BC₂：BB₂=BA₂：BA₃=2：3，再设S_△ABC=a，利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得△AB₁C₁，△B₁B₂C₂，△B₂CA₃的面积，继而求得S₁：S₂：S₃的值．

解答：解：∵在△ABC中，A₁，A₂，A₃是BC边上的四等分点，B₁，B₂是AC边上的三等分点，
∴A₃B₂∥A₂B₁∥A₁A，
∴△BA₁C₁∽△BA₂B₁，△BA₂C₂∽△BA₃B₂，
∴BC₁：BB₁=BA₁：BA₂=1：2，BC₂：BB₂=BA₂：BA₃=2：3，
设S_△ABC=a，
则S_△ABB1=S_△B1BB2=S_△B2BC=

1

3

a，
∴S₁=

1

2

S_△ABB1=

1

6

a，S₂=

1

3

S_△BB1B2=

1

9

a，S₃=

1

4

S_△BB2C=

1

12

a，
∴S₁：S₂：S₃=6：4：3．
故答案为：6：4：3．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握三角形面积比的求解方法．