Question

如图，矩形OABC，点B的坐标为（3，4），沿AD对折，使得对角线AC与x轴重合，点C落在x轴上的点C′，
（1）求证：C′D⊥AC；
（2）求点D的坐标；
（3）点E，F是线段OA上的动点，且EF=

3

2

，当四边形BDEF的周长最小，求E，F的坐标．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）根据折叠和矩形的性质求出∠ACD=∠AC′D，∠ACD+∠CAO90°，即可推出∠AC′D+∠CAO=90°，即可求出答案；
（2）设CD=C′D=x，根据勾股定理decca方程，求出方程的解即可；
（3）先做出E、F的位置，求出直线BH的解析式，求出和x轴的交点坐标即可．

解答：解：（1）∵由题意折叠，易得△CAD≌△C'AD，
∴∠ACD=∠AC'D，
又∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC═90°，
∴∠ACD+∠CAO=90°，
∴∠AC'D+∠CAO=90°，
则C'D⊥AC；

（2）∵B（3，4），矩形ABCO，
∴OA=3，AB=OC=4，由勾股定理得：AC=5，
∵延AD折叠C和C′重合，
∴CD=C′D，AC′=AC=5，
∴OC′=5-3=2，
设C′D=CD=x，则OD=4-x，
在Rt△C′OD中，由勾股定理得：x²=2²+（4-x）²，
解得：x=2.5，
即CD=2.5，
∴OD=4-2.5=1.5，
即D的坐标是（0，1.5）；

（3）作点D关于x轴对称点D'，过点D'作x轴的平行线，取D'H=EF=

3

2

，连接BH，交x轴于点F，再在x轴上取FE=

3

2

，得点E，
OD=OD′=1.5，
设直线BH的解析式是y=kx+b，
把B（3，4），H（

3

2

，-1.5）代入得：

4=3k+b -1.5= 3 2 k+b

，
解得：k=

11

3

．b=-7，
直线BH的解析式是y=

11

3

x-7，
把y=0代入得：0=

11

3

x-7，
解得：x=

21

11

，
即OF=

21

11

，
OE=

21

11

-

3

2

=

9

22

即E（

9

22

，0 ），F（

21

11

，0）．

点评：本题考查了求一次函数的解析式，轴对称性质，勾股定理，矩形的性质的应用，用了方程思想，题目比较好，有一定的难度．