Question

已知二次函数的图象如图所示，
（1）求二次函数的解析式及顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作NQ⊥X轴于点Q，当点N在BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积______为S，求S与t之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），
将x=0，y=-2代入得：a=1，
∴抛物线y=x²-x-2=（x-）²-，
∴顶点M的坐标为（，-）；

（2）抛物线与y=x²-x-2与x轴的两交点为A（-1，0），B（2，0），
设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
则，
解得；
故线段BM所在直线的解析式为y=x-3，
设点N的坐标为（x，-t），
∵点N在线段BM上，
∴-t=x-3，
∴x=-t+2，
∴S_{四边形NQAC}=S_△AOC+S_梯形OQNC=×1×2+×（2+t）×（-t+2）=-t²+t+3，
∴S与t之间的函数关系式为S=-t²+t+3，自变量t的取值范围为0＜t＜；

（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m＞且n=m²-m-2；
PA²=（m+1）²+n²，PC²=m²+（n+2）²，AC²=5，
分以下几种情况讨论：
①若∠PAC=90°，则PC²=PA²+AC²．
∴，
解得：m₁=，m₂=-1；
∵m＞，∴m=，
∴P₁（，）；
②若∠PCA=90°，则PA²=PC²+AC²，
则，
解得：m₃=，m₄=0，
∵m＞，
∴m=，
∴P₂（，-），
当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，
∴边AC的对角∠APC不可能是直角，
∴存在符合条件的点P，坐标分别为P₁（，）；P₂（，-）．
分析：（1）根据A与B的横坐标，设出抛物线的二根式方程，将C坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式，将解析式化为顶点坐标式，即可求出抛物线顶点M的坐标．
（2）根据抛物线的解析式可求出A、B、C三点的坐标，进而可求出直线BM的解析式，已知了QN=t，即N点纵坐标为-t，代入直线BM的解析式中，可求得Q点的横坐标即OQ得长，分别求出△OAC、梯形QNCO的面积，它们的面积和即为所求的四边形QNCO的面积，由此可求出S、t的函数关系式．
（3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出∠APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：
①∠PAC=90°，设出点P的坐标，然后表示出AC²、PA²、PC²的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标；
②∠PCA=90°，解法同①．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．