Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径HF交AC于D，HF、BC的延长线交于点E．
（1）若HF⊥AB，求证：∠OAD=∠E；
（2）若A点是下半圆上一动点，当点A运动到什么位置时，△CDE的外心在△CDE一边上？请简述理由．

Answer 1

解：（1）证明：连接OB，
∵HF⊥AB，
∴=，
∴∠AOH=∠ACB=∠AOB，
∵∠AOD+∠AOH=180°，∠ECD+∠ACB=180°，
∴∠AOD=∠ECD，
∵∠ODA=∠CDE，
∴∠OAD=∠E；

（2）当AB是直径或AC⊥DF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．
理由：①当AB是直径时，△CDE的外心在△CDE一边上．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°，
即△CDE是直角三角形，
∴△CDE的外心在△CDE边DE上；
②当A运动到使AC⊥HF时，△CDE是直角三角形．
此时△CDE的外心在△CDE边CE上．
综上两种情况下，当AB是直径或AC⊥DF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．
分析：（1）首先连接OB，由HF⊥AB，根据垂径定理与圆周角定理，即可求得∠AOH=∠ACB，继而可得∠AOD=∠ECD，又由∠ODA=∠CDE，即可证得∠OAD=∠E；
（2）当AB是直径或AC⊥DF时，△CDE的外心在△CDE的一边上．因为直径所对的圆周角是直角，直角三角形的外心在其一边上．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角形外心的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意准确作出辅助线．