Question

如图，在平面直角坐标系中，已知直角梯形OABC，BC∥OA，A（21，0），C（0，8），OB=10，点P在线段AO上运动，以点P为圆心作⊙P，使⊙P始终与AB边相切，切点为Q，设⊙P的半径为8x，
（1）求点S_△OAB的面积及AB；
（2）用x的代数式表示AP，并求出x的取值范围；
（3）请分别求出满足下列三个要求的x的值（写出简单的计算过程）
①点O在⊙P上；
②若⊙O的半径为16；⊙P与⊙O相切；
③⊙P与AB、OB都相切．

Answer 1

考点：圆的综合题,勾股定理,矩形的判定与性质,切线的性质,相切两圆的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1，根据勾股定理可求出BC长，易证四边形BCOH是矩形，从而可求出BH、OH、AH的长，就可解决问题．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点B作BS⊥AB交OA于S，如图2，易证△PQA∽△BHA，根据相似三角形的性质就可用x的代数式表示AP长，由于⊙P始终与AB边相切，只需求出点B是切点时AP所对应的最大值AS，就可求出x的取值范围．
（3）①由条件可得OP=8x=21-17x，解这个方程就可得到对应的x的值；②可分⊙P与⊙O相外切和内切两种情况进行讨论，就可求出对应的x的值；③设⊙P与AB、OB分别相切于点F、E，连接PF、PE、BP，如图3．依据S_△OAB=S_△ABP+S_△OBP建立关于x的方程，就可求出对应的x的值．

解答：解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1，
∵四边形OABC是直角梯形，∴∠BCO=90°．
∵C（0，8），即OC=8，OB=10，
∴BC=6．
∵∠BCO=∠COH=∠BHO=90°，
∴四边形BCOH是矩形．
∴BH=OC=8，OH=BC=6．
∵A（21，0），即OA=21，∴AH=21-6=15．
在Rt△BHA中，
AB=

BH2+AH2

=

82+152

=17．
∴S_△OAB=

1

2

OA•BH=

1

2

×21×8=84．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点B作BS⊥AB交OA于S，如图2，
∵⊙P与AB相切于点Q，∴PQ⊥AB．
∴∠AQP=∠BHA=90°．
∵∠QAP=∠HAB，
∴△PQA∽△BHA．
∴

PQ

BH

=

AP

AB

．
∴

8x

8

=

AP

17

．
∴AP=17x．
∵BS⊥AB，BH⊥OA，
∴∠BHA=∠SBA=90°．
∵∠BAH=∠SAB，
∴△BHA∽△SBA．
∴

AB

AS

=

AH

AB

．
∴

17

AS

=

15

17

．
∴AS=

289

15

．
∵⊙P始终与AB边相切，∴0＜AP≤AS．
∵点P在线段AO上运动，∴0≤AP≤AO．
∴0＜AP≤AS．
∴0＜17x≤

289

15

．
∴0＜x≤

17

15

．
∴AP=17x，0＜x≤

17

15

．

（3）①若点O在⊙P上，则OP=PQ=8x．
∴8x=21-17x．
解得：x=

21

25

．
②若⊙O的半径为16，且⊙P与⊙O相切，
Ⅰ．当⊙P与⊙O外切时，
则有OP=8x+16=21-17x．
解得：x=

1

5

．
Ⅱ．当⊙P与⊙O内切时，
则有OP=

.

8x-16

.

=21-17x．
x=

5

9

或x=

37

25

．
∵0＜x≤

17

15

，
∴x=

5

9

．
综上所述：满足要求的x的值为

1

5

或

5

9

．
③若⊙P与AB、OB都相切，
设⊙P与AB、OB分别相切于点F、E，连接PF、PE、BP，如图3．
则有PF⊥AB，PE⊥OB．
∵S_△OAB=S_△ABP+S_△OBP，
∴84=

1

2

×17×8x+

1

2

×10×8x．
解得：x=

7

9

．

点评：本题考查了切线的性质、相切两圆的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的思想．而解题中所采用的面积法是求垂线段长度常用的一种方法，应掌握它．本题是一道易错题，容易把“⊙P始终与AB边相切”与“⊙P始终与直线AB相切”相混淆，需注意．