Question

（2006•孝感）已知如图，圆锥的底面圆的半径为r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短线路长为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解答：解：由题意知，底面圆的直径为2r，故底面周长等于2rπ，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2rπ=，
解得n=120，
所以展开图中扇形的圆心角为120°，
∴∠AOA′=120°，
∴∠1=60°，
过C作CF⊥OA，
∵C为OB中点，BO=3r，
∴OC=r，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=r，
∴CF²=CO²-OF²=r²，
∵AO=3r，FO=r，
∴AF=r，
∴AC²=AF²+FC²=r²+r²═r²，
∴AC=，
故选B．
点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．