Question

已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0，
（1）当k为何值时，方程有实数根；
（2）设x₁，x₂是方程的两个实数根，且x₁²+x₂²=4，求k的值．

Answer 1

解：（1）要使方程有实数根，必须△≥0
即4（k-1）²-4k²≥0
解得k≤，∴当k≤时，方程有实数根．

（2）由韦达定理得，x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=4（k-1）²-2k²
=2k²-8k+4，
∵x₁²+x₂²=4，
∴2k²-8k+4=4
解得k₁=0，k₂=4，
由（1）知k≤，∴k=4不合题意，
∴k=0．
分析：（1）根据△≥0，确定k的取值范围；
（2）把x₁²+x₂²=4转化成（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，再把x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²代入，得到关于k的方程，即可求得k的值．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．